Flächengleiche sphärische Dreiecke

In dieser Sektion geht es um die Bestimmung der Kurve auf der sich die Ecke eines Kugeldreiecks bewegen kann, ohne dass sich der Flächeninhalt ändert.

Abbildung: sphärischer Exzess als Winkel

In Abbildung 1.1 ist das eulersche Kugeldreieck $ABC$ in stereographischer Projektion dargestellt. $A'$ bzw $B'$ sind die $A$ und $B$ diametral gegenüberliegenden Punkte. Wie man an der Zeichnung erkennen kann entspricht der Winkel $\omega$ dem halben sphärischen Exzess. ^1.1

Setzt man als bekannt vorraus, dass der sphärische Exzess dem Flächeninhalt F des Kugeldreiecks entspricht, so hat man in dem gestrichelten Kreis schon die Kurve, die die möglichen Positionen der Ecke $C$ für flächengleiche Dreiecke beschreibt. Dies gilt allerdings nur bis zum Durchgang durch den Äquator. Wie man leicht durch Winkelbetrachtung einsieht haben die Dreiecke bei denen der Eckpunkt $C$ auf dem Kurvenstück ``unterhalb'' des Äquators liegt einen Flächeninhalt von $2\pi - F$.