schriftliches Wurzelziehen

Ein Verfahren:

Im ersten Schritt teile man die Zahl vom Komma ausgehend (oder von der Einerziffer) in Zweierblöcke auf (15'36,59). Nun ziehe man aus dem ersten Zweierblock (im Beispiel 15) die ganzzahlige Wurzel (im Kopf ... 3 :-) ). Das ist die erste Ziffer des Ergebnisses. Nun zieht man das Quadrat dieser Ziffer von dem ersten Zweierblock ab:
       sqrt 15 36,59  =  3
           - 9
           ___
             6 3   : 6
Das ergibt 6 und dann holt man (wie beim schriftlichen Dividieren) die nächste Ziffer nach unten. Die sich ergebende Zahl (63) wird durch das Doppelte des Ergebnisses (6) geteilt. Obwohl die Eigentlich 10 ergibt muss es hier 9 sein, da wir nur eine Ziffer suchen. Bei dieser Division kommt es nicht so sehr auf Genauigkeit an, aber was ich damit meine sehen wir weiter unten. Also ist die nächste Ziffer des Ergebnisses 9. Nun wird wie beim Dividieren das Produkt der letzten Ziffer mit dem Divisor abgezogen und von dem Ergebnis (ergänzt um die nächste Ziffer der Ausgangszahl) wird das Quadrat der letzten Ergebnisziffer abgezogen (81) 
       sqrt 15 36,59  =  3 9
           - 9
           ___
             6 3   : 6 (Geteilt durch das doppelte Ergebnis (war 3))
           - 5 4       ( 6 * 9)
           _____
               96
             - 81      (minus Quadrat der letzten Ziffer 9 )
             ____
               15 5
Danach holt man die nächste Ziffer der Ausgangszahl runter, dabei wurde das Komma überschritten, also erhält auch das Ergebnis ein Komma. Jetzt wird wieder durch das Doppelte des Ergebnisses (78) geteilt. Dies ergibt die nächste Ergebnisziffer, deren Quadrat dann wieder abgezogen werden muss usw... 
       sqrt 15 36,59  =  3 9,1
           - 9
           ___
             6 3   : 6
           - 5 4
           _____
               96
             - 81
             ____
               15 5  : 78  (Geteilt durch das Doppelte des Ergebnisses)
             -  7 8
             ______
                7 79
              -    1  (Quadrat der letzten Ziffer)
                ____
                7 78 0  : 781
Wie im Beispiel angedeutet kann man dann durch runterholen weiterer Nullen das Verfahren bis zu einer beliebigen genauigkeit Fortsetzen. Die Probe zeigt hier, dass die Vorhandenen Ziffern richtig sind: 
    39,0 * 39,0 = 1521
    39,1 * 39,1 = 1528,81
    39,2 * 39,2 = 1536,64
In manchen Fällen passiert es, dass das Quadrat der letzten Ziffer nicht abgezogen werden kann: 
       sqrt 13 24 96  =  37
           - 9
           ___
             4 2   : 6  = 7
           - 4 2
           _____
               04
             - 49   !!!!!!!
             ____
Dann wird diese Ziffer um eins reduziert und dies als Ergebnis der Division angesehen: 
       sqrt 13 24 96  =  36
           - 9
           ___
             4 2   : 6  = 6 !!
           - 3 6
           _____
               64
             - 36   (Quadrat der letzten Ziffer)
             ____
               28 9 ...
und die Rechnung kann fortgeführt werden. Auf diesen Fall bezog sich die Anspielung auf die Genauigkeit der Rechnung.

Warum funktioniert dieses Verfahren?

Um das zu erklären betrachte ich das umgekehrte Verfahren des Quadrierens einer Zahl. Sei n diese Zahl, dann kann man sie Zerlegen in die Einerziffer b und eine Zahl a, so dass n=10*a + b ist. Dann gilt n*n = a^2 * 100 + 2*a*b *10 +b^2. Die Umkehrung dieser Rechnung ergibt, dass man die Wurzel aus einer Zahl ziehen kann, in dem man die Wurzel aus der Zahl ohne Zehner und Einerziffer zieht. Dies ergibt a. Und dann ein b findet, so dass n^2 - a^2 * 100 = 2*a*b *10 +b^2 gilt. Eine gute Heuristik dafür ist, dass man n^2 - a^2 * 100 durch 2*a*10 teilt, denn dies Ergibt b bis auf einen Summanden b^2/(2*a*10), der relativ klein ist. Dieses Prinzip wird in obigem Verfahren ausgenutzt und wiederholt angewendet. Die Bestimmung von a läuft ja darauf hinaus, dass man die Wurzel aus einer um zwei Ziffern kürzeren Zahl zieht. Darauf kann wieder das Verfahren angewendet werden.

a ist eindeutig, da (a+1)^2-a^2 = 2a+1 und b < 10 und somit (2*a+1)*100 >= 2*a*(b*10) + b^2 ist. In einem Satz bedeutet dies, dass beim Wurzelziehen die ersten d Ziffern des Ergebnisses durch die ersten 2*d Ziffern des Radikanten gegeben sind.

Fragen, Anregungen und Kritik

Für Fragen, Anregungen und Kritik aller Art bin ich dankbar. Ich kann mir gut vorstellen, dass die obigen Erklärungen einfacher zu gestalten sind. Falls jemand eine Idee hat möge er sie bitte an mich senden. Ebenfalls Interessieren würde mich eine Umsetzung in ein Java-Applet, dass es ermöglicht Übungsaufgaben im Internet zu berechnen.
Peter Scholl
Last modified: Fri Mar 16 08:04:37 CET 2001