Der Flächeninhalt eines Kugeldreiecks

Für den Flächeninhalt $F$ eines Kugeldreiecks mit den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma$ gilt:

$$F = \alpha + \beta + \gamma - \pi = \varepsilon$$

Der Flächeninhalt ist also gleich dem sphärischen Exzess $\varepsilon$.

Hier soll der Beweis aus Bigalke [1] nachvollzogen werden. Auf Seite 46 wird dazu zunächst Satz 2.7a bewiesen:

Satz 1.3.1   Liegt ein Punkt $Q$ auf der sphärischen Mittelsenkrechten zu einer Kugelstrecke $AB$, dann hat $Q$ von $A$ denselben Abstand wie von $B$, und umgekehrt.

Satz 1.3.2   Die sphärischen Mittelsenkrechten auf den Seiten eines Kugeldreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises des Kugeldreiecks.