Kurze Info

Diese Seite befindet sich noch im Aufbau und soll nach und nach erweitert werden. Im Augenblick befindet sich hier nur der folgende Text, der aber durchaus nicht uninteressant ist.

Wir wünschen viel Spass beim lesen

schriftliches Wurzelziehen

Ein Verfahren:

Im ersten Schritt teile man die Zahl vom Komma ausgehend (oder von der Einerziffer) in Zweierblöcke auf (15'36,59). Nun ziehe man aus dem ersten Zweierblock (im Beispiel 15) die ganzzahlige Wurzel (im Kopf ... 3 :-) ). Das ist die erste Ziffer des Ergebnisses. Nun zieht man das Quadrat dieser Ziffer von dem ersten Zweierblock ab:

       sqrt 15 36,59  =  3
           - 9
           ___
             6 3   : 6

Das ergibt 6 und dann holt man (wie beim schriftlichen Dividieren) die nächste Ziffer nach unten. Die sich ergebende Zahl (63) wird durch das Doppelte des Ergebnisses (6) geteilt. Obwohl dies eigentlich 10 ergibt, muss es hier 9 sein, da wir nur eine Ziffer suchen. Bei dieser Division kommt es nicht so sehr auf Genauigkeit an, aber was ich damit meine sehen wir weiter unten. Also ist die nächste Ziffer des Ergebnisses 9. Nun wird wie beim Dividieren das Produkt der letzten Ziffer mit dem Divisor (54) abgezogen. Von dem Ergebnis (ergänzt um die nächste Ziffer der Ausgangszahl) (96) wird das Quadrat der letzten Ergebnisziffer (81) abgezogen.

       sqrt 15 36,59  =  3 9
           - 9
           ___
             6 3   : 6 (Geteilt durch das doppelte Ergebnis (war 3))
           - 5 4       ( 6 * 9)
           _____
               96
             - 81      (minus Quadrat der letzten Ziffer 9 )
             ____
               15 5

Danach holt man die nächste Ziffer der Ausgangszahl runter, dabei wurde das Komma überschritten, also erhält auch das Ergebnis ein Komma. Jetzt wird wieder durch das Doppelte des Ergebnisses (78) geteilt. Dies ergibt die nächste Ergebnisziffer, deren Quadrat dann wieder abgezogen werden muss usw...

       sqrt 15 36,59  =  3 9,1
           - 9
           ___
             6 3   : 6
           - 5 4
           _____
               96
             - 81
             ____
               15 5  : 78  (Geteilt durch das Doppelte des Ergebnisses)
             -  7 8
             ______
                7 79
              -    1  (Quadrat der letzten Ziffer)
                ____
                7 78 0  : 781

Wie im Beispiel angedeutet kann man dann durch runterholen weiterer Nullen das Verfahren bis zu einer beliebigen Genauigkeit fortsetzen. Die Probe zeigt hier, dass die vorhandenen Ziffern richtig sind:

    39,0 * 39,0 = 1521
    39,1 * 39,1 = 1528,81
    39,2 * 39,2 = 1536,64

In manchen Fällen passiert es, dass das Quadrat der letzten Ziffer nicht abgezogen werden kann:

       sqrt 13 24 96  =  37
           - 9
           ___
             4 2   : 6  = 7
           - 4 2
           _____
               04
             - 49   !!!!!!!
             ____

Dann wird diese Ziffer um eins reduziert und dies als Ergebnis der Division angesehen:

       sqrt 13 24 96  =  36
           - 9
           ___
             4 2   : 6  = 6 !!
           - 3 6
           _____
               64
             - 36   (Quadrat der letzten Ziffer)
             ____
               28 9 ...

und die Rechnung kann fortgeführt werden. Auf diesen Fall bezog sich die Anspielung auf die Genauigkeit der Rechnung.

Warum funktioniert dieses Verfahren?

Um das zu erklären betrachte ich das umgekehrte Verfahren des Quadrierens einer Zahl. Sei n diese Zahl, dann kann man sie Zerlegen in die Einerziffer b und eine Zahl a, so dass n=10*a + b ist. Dann gilt n*n = a^2 * 100 + 2*a*b *10 +b^2. Die Umkehrung dieser Rechnung ergibt, dass man die Wurzel aus einer Zahl ziehen kann, in dem man die Wurzel aus der Zahl ohne Zehner und Einerziffer zieht. Dies ergibt a. Und dann ein b findet, so dass n^2 - a^2 * 100 = 2*a*b *10 +b^2 gilt. Eine gute Heuristik dafür ist, dass man n^2 - a^2 * 100 durch 2*a*10 teilt, denn dies Ergibt b bis auf einen Summanden b^2/(2*a*10), der relativ klein ist. Dieses Prinzip wird in obigem Verfahren ausgenutzt und wiederholt angewendet. Die Bestimmung von a läuft ja darauf hinaus, dass man die Wurzel aus einer um zwei Ziffern kürzeren Zahl zieht. Darauf kann wieder das Verfahren angewendet werden.

a ist eindeutig, da (a+1)^2-a^2 = 2a+1 und b < 10 und somit (2*a+1)*100 >= 2*a*(b*10) + b^2 ist. In einem Satz bedeutet dies, dass beim Wurzelziehen die ersten d Ziffern des Ergebnisses durch die ersten 2*d Ziffern des Radikanten gegeben sind.

Hinweise im Web

Bei meiner Suche im Internet nach einem hübschen Applet bin ich auf folgende Seite gelangt, die ebenfalls das Verfahren zum Wurzelziehen erläutert. Für meinen Geschmack noch unverständlicher als hier (falls das geht :-). Ihr könnt ja mal nachsehen unter Wurzeln - Daeleman
Dort wird das Verfahren auch auf das schriftliche Ziehen von Kubikwurzeln erweitert. Dies ist aber geradezu eine Übungsaufgabe, wenn man das Verfahren hier verstanden hat und für den tatsächlichen Gebrauch untauglich.

Eine Seite auf der das Verfahren technisch hübsch aufgemacht ist gibt es hier (leider in englischer Sprache). Die Notation ist allerdings so interessant und das Verfahren so kurz und knapp erklärbar, dass ich das Beispiel vielleicht mal übersetzen werde (s.u.). Zudem wird dort die von Taschenrechnern verwendete Newton-Iteration erklärt.

Hier also der Versuch der Übersetzung:

So haben wir es in der Schule gelernt. Wir zeichnen ein Diagram ähnlich dem bei der schriftlichen Division. Tatsächlich ist das Verfahren sehr ähnlich. Wir markieren jede zweite Ziffer der Zahl unter dem Wurzelzeichen, beginnend beim Dezimalpunkt. Jeweils zwei Ziffern dieser Zahl ergeben eine Ziffer des Ergebnisses.

Wir schätzen die Erste Ziffer des Ergebnisses: grösser als 4 und kleiner als 5, also wählen wir 4. Nun schreiben wir 4 nach links vom Wurzelzeichen. Wir multiplizieren 4x4 und erhalten 16, dies schreiben wir unter die 19, subtrahieren und erhalten 3. Danach holen wir zwei weitere Ziffern runter (in diesem Fall 00), das macht 300.

Nun kommt der Teil der von der schriftlichen Division abweicht (bei der der Divisor gleich bleibt): Wir verdoppeln die vier auf der linken Seite und erhalten 8 und schreiben dies links von der 300. Nun ist ein x gesucht, so dass x*(80+x) gerade kleiner als 300 ist. 4x84 ist groesser als 300, also ist 3x83 das gesuchte. 3 ist die nächste Ziffer der Lösung, und wir schreiben diese drei rechts an die 8 (das macht 83) auf der linken Seite. 3x83=249, was wir unter die 300 schreiben und subtrahieren. Wir erhalten 51 und holen wieder 00 von oben runter.

Nun erhalten wir 86 (das doppelte von 43) auf der linken Seite, wiederholen die Operation und erhalten 865x5 und 8708x8 und 87169x9. Der letze Schritt zeigt an wie man das Ergebnis runden kann. Also ist die Lösung 4.359. Diese Rechnung sieht vielleicht abschreckend aus, aber sie ist sehr einfach.

Eine weitere tolle Seite ist hier. Didaktisch prima aufgemacht wird das Verfahren erklärt. Am Ende gibt es noch Literaturhinweise.

Fragen, Anregungen und Kritik

Für Fragen, Anregungen und Kritik aller Art bin ich dankbar. Ich kann mir gut vorstellen, dass die obigen Erklärungen einfacher zu gestalten sind. Falls jemand eine Idee hat möge er sie bitte an mich senden. Ebenfalls Interessieren würde mich eine Umsetzung in ein Java-Applet, dass es ermöglicht Übungsaufgaben im Internet zu berechnen.

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(last modified: 11.07.2002)